La Nature de Pi : Entre Géométrie Euclidienne et Géométrie Discrète

Le nombre pi (π) est connu comme étant le ratio de la circonférence d’un cercle à son diamètre. En géométrie euclidienne, π est défini comme un nombre irrationnel, représentant la circonférence C d’un cercle divisée par son diamètre D, soit π=C/D​. Également, comme D=2R (où R est le rayon du cercle), la circonférence peut être exprimée par C=2Rπ.

Cependant, lorsqu’on considère la géométrie discrète, dans laquelle les points ont une dimension non nulle d, correspondant aux limites de notre monde matériel, la relation devient plus complexe. En réalité, multiplier le rayon R par 2 dans un cercle revient à compter deux fois le point central c, ayant une dimension d. Cela signifie que l’expression correcte du diamètre en termes de rayon serait plutôt D=2R−d.

Dès lors, la relation π=C/2R​ ne tient que si d est nul, c’est-à-dire dans un contexte purement théorique où les points n’ont pas de dimension. En géométrie discrète, C/(2R-d)​ n’est plus égal à π pour toute valeur non nulle de d. Au contraire, cette fraction pourrait prendre une valeur rationnelle dépendant de la précision de la mesure de d.

Cela implique que dans le cadre de la géométrie discrète, π devient une approximation abstraite, applicable seulement dans un cas irréel. En conséquence, son utilisation peut introduire une indétermination dans les calculs. Afin de rester fidèle à la réalité physique, il serait préférable d’adopter une valeur raisonnable de d, même très petite, et de travailler avec des nombres rationnels plutôt que de s’appuyer sur π, un nombre irrationnel. Ceci est d’autant plus important car en utilisant π, la circonférence calculée nécessite une précision infinie pour se fermer parfaitement, ce qui est irréalisable dans le monde matériel.

En conclusion, la nature de π dans le contexte de la géométrie discrète révèle les limites de l’utilisation des abstractions mathématiques dans le monde réel. Adopter une approche basée sur les approximations rationnelles en fonction de d permettrait de mieux coller à notre réalité matérielle tout en offrant une meilleure compréhension de la nature de π. Une nouvelle fois, nous pouvons apprécier l'importance que revêt le point et sa définition dans notre monde physique ainsi que pour les approches philosophiques sur l'information et les abstractions.