La Nature de la Racine Carrée de 2 : Importance du Point et Perspectives Mathématiques et Physique

Introduction

La racine carrée de 2 est connue pour être un nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'elle ne peut être exprimée comme une fraction exacte de deux entiers. Cependant, la différence entre le monde abstrait des mathématiques et la réalité physique introduit des nuances importantes dans notre compréhension de la racine carrée de 2. Cet article explore ces différences et propose une perspective alternative sur la nature de cette racine carrée, extensive aux autres racines carrées considérées comme " irrationnelles ".

Contexte Mathématique

Dans le contexte des mathématiques pures, racine carrée de $2$ est un nombre irrationnel. Ce fait est démontré par le théorème qui prouve qu'il n'existe pas de fraction (où et sont des entiers) pour laquelle $(𝑎/𝑏)2=a^2/b^2$ . Cette caractéristique s'applique dans un contexte où les points n'ont pas de dimension et où les approximations n'existent pas, définissant ainsi un cadre idéal.

Le Monde Physique et la Modélisation Mathématique

Dans le monde physique, les mesures et les quantités sont intrinsèquement approximatives en raison des limitations de précision. Les valeurs rationnelles peuvent souvent être utilisées pour approcher racine carrée de $2$ dans la pratique. Par exemple, des fractions continues permettent d'obtenir des approximations rationnelles de racine carrée de $2$ avec une précision croissante. Dans cette perspective, racine carrée de $2$ n'est qu'une approximation rationnelle, dont la précision dépend de la dimension du point ou de l'échelle de mesure.

Approche Discrète versus Approche Continue

L'analyse discrète montre qu'en utilisant des fractions comme p, on peut obtenir des valeurs telles que $2𝑅^2−𝑅×𝑑$ , où représente la dimension du point et l'erreur associée. Cette formule provient du calcul d'un carré inscrit dans un cercle de diamètre et de rayon . L'aire du carré est donnée par , que l'on réécrit normalement sous la forme ou $2𝑅^2$ . Cependant, dans une analyse discrète, compte deux fois le point central, donc nous devrions le soustraire du diamètre pour obtenir . Ainsi, la formule devient ou . Cette approche illustre que l'approximation rationnelle de la racine carrée de 2 devient de plus en plus précise à mesure que diminue, bien que ne puisse jamais atteindre zéro dans le monde réel.

Conclusion

La distinction entre le monde abstrait des mathématiques et la réalité physique est essentielle pour comprendre racine carrée de $2$ . Dans un cadre mathématique abstrait, racine carrée de $2$ reste irrationnel. Cependant, dans le monde physique, où les mesures sont limitées par la précision, des approximations rationnelles de racine carrée de $2$ sont pertinentes et peuvent être utilisées pour des applications pratiques. La précision des approximations dépendra toujours de l'échelle de travail, soulignant que l'irrationalité de racine carrée de $2$ est une abstraction mathématique, alors que ses approximations rationnelles sont plus pertinentes dans le monde réel. Dans le cadre de Pointfulness, cela vient illustrer l'importance philosophique et fondatrice du point matériel.

Analyse Métaphysique

La discussion pourrait s'arrêter ici, cependant, ces concepts sont plus profonds qu'une simple constatation presque évidente. Les valeurs de la racine carrée de 2 ainsi que de pi sont considérées par défaut comme des nombres irrationnels, et personne ne les voit ni ne les définit comme une approximation de la réalité dans un univers abstrait où le point n'a pas de dimension, où il a de l'information (ses coordonnées dans un espace), mais n'a pas de matière. Face à une précision infinie, illustrée par l'infinité de décimales des nombres irrationnels, notre univers physique apparaît grossier, grumeleux, presque grossier. Il existe une dimension, que certains disent pouvoir être la longueur de Planck (1,616199(97) × 10^-35 mètres), pour laquelle la dimension du point perd son sens et bascule dans l'irréel ; elle est à la fois quelque chose et égale à zéro. Au-delà de cette dimension, quelle qu'elle soit tant qu'elle n'est pas nulle, la précision perd son sens mais le concept, non. Par exemple, le calcul d'une circonférence $C = 2 R \times π$ illustre une valeur qui ne se termine jamais, comme une circonférence qui ne cesse jamais de se refermer dans le monde abstrait. Dans le monde réel, cependant, la circonférence est fermée à un niveau de précision extrêmement inférieur (nous en discuterons dans un autre article). Les implications sont spéculatives, mais nous touchons à la frontière de notre univers qui a une composante quantique, indéterminée et potentiellement infinie, et notre univers observé et perçu, discret en raison de notre propre capacité d'observation qui finalement nous limite. Réunir ces perspectives est le rêve de nombreux physiciens théoriciens pour comprendre comment les mondes quantiques et physiques se rejoignent, comment l'observation altère la nature d'une onde électromagnétique ou de deux réalités potentiellement superposées, c'est-à-dire qui coexistent tant que l'on ne sait pas laquelle est la réelle. Les nombres irrationnels, du moins géométriques, nous montrent exactement l'ampleur de la différence entre une longueur finie avec une précision de 35 décimales après la virgule et une infinité de décimales qui ne se répètent jamais en séquence. C'est ainsi la différence entre un être potentiel et l'être qui se manifeste dans la matière.